若二次方程x^2+(k-3)x+k+1=0两个根为尔发和贝它,切尔发-贝它的绝对值<二倍根号2,试确定k的取值范围

若二次方程x²+(k-3)x+k+1=0的两个根为a和b，|a-b|≤2根号2，试确定k的取值范围

由韦达定理得
a+b=-(k-3)，ab=k+1
所以(a-b)²=(a+b)²-4ab=(k-3)²-4(k+1)=k²-10k+5
因为|a-b|<2根号2
所以(a-b)²<8
即0≤k²-10k+5<8
k²-10k-3<0且k²-10k+5≥0
解得5-2根号7<k<5+2根号7，k≤5-2根号5或k≥5+2根号5
综合得，5-2根号7<k≤5-2根号5 或 5+2根号5≤k<5+2根号7

设方程的两根为x1,x2,
因为方程有解，
所以判别式=(k-3)^2-4(k+1)=k^2-10k+5>=0，
解得k>=5+2根号5或k<=5-2根号5；
而由韦达定理可得，
x1+x2=3-k,x1*x2=k+1,
所以(x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1*x2
=(3-k)^2-4(k+1)
=k^2-10k+5<8,
所以(k-5)^2<28,
所以5-2根号7<k<5+2根号7，
所以5-2根号7<k<=5-2根号5或5+2根号5<=k<5+2根号7，
所以k的取值范围为(5-2根号7，5-2根号5]并[5+2根号5，5+2根号7).

由韦达定理有
a+b=3-k,ab=k+1
有两根,所以
判别式:
(k-3)^2-4(k+1)>=0
k^2-10k+5>=0
k<=5-2根号5,k>=5+2根号5

|a-b|<2根号2
(a-b)^2<8
(a+b)^2-4ab<8
(3-k)^2-4(k+1)&l